行测考试中，排列组合是考察频率较高但却令很多小伙伴头疼的题型，尤其是一些需要分类讨论的题目，稍有不慎就会漏掉一些情况。今天，一起备考带领大家一起，学习一下间接法，从另外一个角度来讨论需要分类较多的排列组合。

知识点拨

需要分类讨论的排列组合题目，无论分多少类，终究是有限的，只是出题人往往要求我们讨论分类较多的情况。但是反过来想想，如果求的结果是分类较多的部分，那么剩余的部分，分类就较少了，我们可以用整体数减去剩余部分(称为对立事件)，这样就可以减少一些计算量。间接的方法，反而可能更快更“直接”得到答案。

例题展示

例题

由1-9组成一个3位数，3位数肯定有数字重复的组合有多少种?

A.220 B.255 C.280 D.225

本题考查排列组合，我们第一反应通常把有数字重复的情况进行分类，本题需要分成四类情况：

(1)百位、十位数字重复：先确定百位上的数字，从9个数中选一个，有9种情况，十位数与百位数相同，只需考虑个位的情况，个位和百位、十位数字不同，所以只能从剩下的8个数字中选一个，也就是8种情况，这是分步的过程，有9×8=72种情况。

(2)百位、个位数字重复：同(1)有9×8=72种情况。

(3)十位、个位数字重复：同(1)有9×8=72种情况。

(4)百位、十位、个位数字都重复：先确定百位，从9个数中选一个，有9种情况，此时十位、个位和百位相同，直接确定，所以一共有9种情况。

分类相加，所以符合要求的数字组合一共有：72+72+72+9=225，答案为D。

虽然结果算出来了，但是考虑情况会比较多，况且这只是三位数，如果是四位数、五位数会更加麻烦。如果用间接法会如何呢?

题目要求的是三位数中，有数位上的数重复，分类较多，对立事件为三个数位上的数字均不重复，只有这一类。我们可以先计算总的情况数，减去对立事件包含的情况数。

总的情况数：百位、十位、个位均有9种可能，分步相乘，共9×9×9=729种。

对立事件包含的情况数：一共有3个数位，9个数字可以选择，每个数位上的数字各不相同，故有

729-504=225种，故本题选D。

练习提升

例1

某交警大队的16名民警中，男性为10人。现要选4人进行夜间巡逻工作，要求男性民警不得少于2人，问：有多少种选人方法?

A.1605 B.1520 C.1071 D.930

【解析】A。男性民警为10人，则女性民警有6人。有不少于字眼，考虑对立面，男性民警少于2人，即没有男性民警或只有1名男性民警，则本题所求为故本题选A。

例2

三行三列间距相等共有九盏灯，任意亮起其中的三盏组成一个三角形，持续5秒钟后换另一个三角形。那么如此持续亮，亮完所有的三角形组合至少需要多少秒?

A.380 B.390 C.410 D.420

【解析】A。要求亮完所有的三角形组合的时间，则需要先求出所有三角形组合的数量。若直接讨论三角形种类，情况较多，使用间接法，一共9个点，任取其中三个点，考虑到在一条直线上的三个点不能构成三角形，需要减去8，即三条横线，三条竖线，两条对角线。故共有84-8=76个不同的三角形，亮完至少需要76×5=380秒。

小结

间接法可以减少计算量，那我们什么时候可以应用这个方法呢?一起备考也帮大家总结了一些特征：①题目分类较多时;②题干中出现至多、至少等字眼时。

希望大家以后遇见此类题目，不要轻易放弃，尝试去做一做，也欢迎大家来课堂，学习更多解题方法。