日常生活中，我们总是会与各种数量打交道，比如说“某种物品到底有多少个”。现实的情况是：不管物品的数量有多少，总是有上限的。也就是说，我们可以用具体的数量来描述物体的数量。

这表明：我们生活在一个有限的世界里。

但在数学概念里，存在一个让人感到烦恼甚至不愿意接受的概念：无穷。不仅仅是普通人，伟大的数学家有时候对于无穷的概念也“束手无策”，以至于在主观上人们很难接受无穷的诡异存在。

而且，如果我们的宇宙是无限大的，那肯定意味着在宇宙某个角落，一定存在于一模一样的你和我，一模一样的地球和太阳，一模一样的银河系……

这种情况肯定会让人疯狂，这也是为什么科学家认为我们的宇宙并不是无穷大的，而又有限大的。因为我们很难直观地去描述无限的宇宙，对于我们来讲，有限的宇宙才是最合理的，也是可以想象出来的。

但正如上面所说，无穷的确存在，起码数学概念里无穷是真实存在的，无穷的存在也很好理解，连小孩子都明白。

比如说，最简单的自然数，从1开始往下数，你肯定数不到尽头，不存在一个最大的数，这就是无穷的概念。

平时我们能够用到的数，基本上就停留在亿或者兆的层面，很难用到更大的数，但亿和兆在无穷面前显得太渺小了。

与有限的数不同，无穷也很容易带来让人不太容易理解的“悖论”。最简单直观的“悖论”是这样的：

我们都知道自然数指的是：1，2，3，4，5，6…，一直没有尽头。而偶数包括2，4，6…，剩下的是奇数。

自然数包含了偶数与奇数，按常理讲，自然数肯定比偶数要多，应该是偶数的两倍多才对。但事实上并非如此，自然数与偶数是一样多的，两者都有无穷多个数。

很容易证明这点，因为每一个自然数都有相应的偶数与之对应，把自然数都乘以2，得到的都是偶数。

1对应2，2对应4，3对应6，4对应8……

表面看起来自然数应该比偶数多，因为自然数还包含了奇数，但实际上两者是一样多一样大的。

而且随着人们对无穷的不断深入研究，发现了更多让人苦恼的“悖论”，比如说希尔伯特旅馆悖论：

这个悖论是这样的：

假如有一个拥有无穷多房间的旅馆，旅馆已经住满了人，是不是还能让人入住呢？

理论上是不能再入住人的，因为旅馆已经住满了。但实际上完全没有问题，可以这样操作。

因为旅馆拥有无穷多个方面，意味着房间数量没有尽头，不会存在“最后一间房”，即使存在最后一间房，旅馆仍旧是住满的。

但只需要让1号房间的旅客搬到2号房间，2号搬到3号，以此类推。因为不存在最后一间房，意味着所有旅客都可以搬到下一个房间。如此操作下去，1号房间就被空出来了，就可以让新来的旅客住进来了。

所以，即便是旅店已经注满客人了，仍旧可以让新的旅客入住。

从数学上理解就是：无穷加任何数都等于无穷，无穷+无穷还等于无穷，而无穷减无穷结果可以是任何数！